勾股定理与弦图奥数题(小学奥数勾股定理视频讲解)

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【第1章】

我们已经讨论了很多关于毕达哥拉斯定理的内容。中国、希腊、埃及等文明古国位于不同地区，但都很早就独立发现了毕达哥拉斯定理。那么，勾股定理是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：我们中国人最先发现了它。证据就是《周髀算经》中的记录。

《周髀算经》 开头记载了我国周初伟大政治家周公旦与当时数学家尚皋之间的一段话。在这段话中，周公和商高讨论了直角三角形的一些问题。其中就有“钩三股四弦五”的问题。

周公问商皋：“听说你很擅长数字，请问数字是从哪里来的？”

小学生经典数学故事《谁最先发现了勾股定理》：尚高回答：“数字的艺术是从研究圆和正方形开始的。圆是由正方形产生的，正方形是由直角尺折成直角产生的。在学习之前长方形，你需要知道九九公式，想象一下，沿对角线切割一个长方形，使得短直角边（钩）的长度为3，长直角边（股）的长度为4，斜边（弦）长为5，用四个与上述直角三角形类似的半矩形围成一个方盘，减去四个勾股弦为3的直角三角形，从它的总面积49 中减去4、5。通过取这两个矩形的面积24，我们得到原始正方形的面积25。这种方法称为‘乘积矩’。”

尚高所描述的“钩三股四弦五”已经满足了毕达哥拉斯定理的所有条件。我们已经提到，毕达哥拉斯发现毕达哥拉斯定理的时间晚于周朝商皋。这证明中国数学家尚高是第一个发现勾股定理的人。 “勾股定理”一开始也被称为“勾股定理”，这也形象地说明了这个定理的具体内容。

【第2章】

1、若直角三角形的三边长分别为2、4、a，则a的值为()

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：C

说明：若a为斜边长度，则根据勾股定理，22+42=a2，可得a=2； 如果a是直角边的长度，那么根据毕达哥拉斯定理，我们有22+a2=42，可以得到a=2，所以a可以有2个值，答案是C。

2、小明搬了一个2.5米长的木梯，准备把拉花画挂在2.4米高的墙上。梯脚与墙脚的距离为()米。

A.0.7B.0.8C.0.9D.1.0

答案：A

解释：因为墙与地面的夹角可视为直角，利用毕达哥拉斯定理，可以得出梯脚与墙脚的距离===0.7，答案为A 。

3、直角三角形斜边的长度比右边长2，另一条右边的长度为6，则斜边的长度为（）

A.6B.8C.10D.12

答案：C

说明：设直角边长为，则答案为C。

【第3章】

1、等价替代法

已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的两倍。求阴影部分的面积。

分析从给定的条件来看，我们不知道ADE的任何一条边及其对应的高度，因此很难直接计算出ADE的面积。分析只能从已知面积的部分与所求图形面积的关系开始。从题意可以看出，四边形DEFC是平行四边形，所以连接E点和C点，DEC的面积就是平行四边形面积的一半。根据同底等高的三角形面积相等，可知AED和DEC的面积相等，且DEC的面积等于面积的一半的平行四边形。因此，ADE的面积也等于平行四边形面积的一半。问题已经解决了。

柱式：5622=14（平方厘米）

2、转化方法

四边形ABCD是长方形，BC=15厘米，CD=8厘米。三角形AFB的面积比三角形DEF的面积大30平方厘米。求DE的长度。 （第xx届小学数学竞赛最终题）

分析：将三角形ABF和三角形DEF分别与四边形BCDF相加，分别变换为矩形ABCD和三角形BCE。根据三角形ABF的面积比三角形DEF大30平方厘米的事实，将它们分别与四边形BCDF相加后，变换为比其大30平方厘米的矩形ABCD的面积三角形BCF。首先求三角形BCE的面积。根据三角形的面积和BC的长度，求出CE的长度。这样就可以求出DE的长度。柱式：(158-30)215-8=4（平方厘米）

3.假设法

长方形的面积是35平方厘米，左边直角三角形的面积是5平方厘米，右上三角形的面积是7平方厘米。那么中间三角形（阴影部分）的面积是____平方厘米。 (1996年小学数学奥林匹克预赛B题)

分析：因为长方形的面积是35平方厘米，所以我们不妨假设AB=5厘米，AD=7厘米，因为SABE=5平方厘米，所以BE=525=2厘米，EC=7-2=5 厘米，同理：DF=725=2 厘米，CF=5-2=3 厘米，则SECF=532=7.5 厘米，可以计算阴影部分的面积。柱式：35-(7+5+7.5)=15.5（平方厘米）

4、巧用属性

三角形ABC是直角三角形。已知阴影（I）的面积比阴影（II）的面积小23平方厘米。 BC 的长度是多少？ (=3.14)（北京XX迎春杯数学竞赛试题）

分析：这个问题乍一看似乎无法回答，因为阴影部分（）和（）是不规则形状，但如果仔细观察，不难看出阴影部分（）是半圆形的一部分，而阴影（）是三角形ABC的一部分，根据“不变差性”，（）和（）可以分别与（）相加，分别得到半圆和ABC。它们的面积差保持不变，这样就可以计算出三角形了。